帯には「予備知識一切無用」とあるが, 実際は既知としている高校数学あるいは既知でないと読めない部分は多い. e^iπ＝−1に至るまでに事実上既知としている高校数学は順に以下の通りである.・自然数 ・整数 ・有理数 ・無理数 ・実数 ・複素数 ・平方根 ・整数の指数 ・組み合わせの総数nCr ・二項定理 ・総和演算Σが分配できること ・等比数列の和の公式 ・一次不等式 ・二次方程式と二次不等式 ・整式の除法 ・式の展開と因数分解の公式 ・不等式の証明 ・関数の積の微分公式 ・微分の線型性(和の微分が微分の和になり, 定数倍の微分が微分の定数倍になること) ・1からnまでの自然数の和の公式Σ(k:1→n)k＝n(n＋1)/2 ・数列および関数の極限についてのはさみうちの定理(はさみうちの原理) ・無理数の指数 ・弧度法 ・二重根号の外し方また, 関数f(x)をfと略記したり, オイラーの公式のさらなる説明では実際には複素平面を知らないと理解できない箇所もある. (解析学において厳密に言うと「関数f(x)」と「関数f」では意味が異なる. しかし本書では単なる略記である. ) さらにその先では平面ベクトルや行列を既に知っていないと理解しにくい説明もある. オイラーの公式の行列表現を提示するためだが, 本書はe^iπ＝−1までと附録のみでも価値があり, オイラーの公式の行列表現は知らなくても良いであろう.ただ, 高校数学を学んだばかりの人や高校数学を学んでいる人が学習参考書などを参照しながら読むと, オイラーの公式, 特にe^iπ＝−1に至るまで様々な話題に触れつつ楽しみながら理解できると思う. ちなみに最短でオイラーの公式が理解できるのは青チャート数学Ⅲのコラムである. 余談ながら青チャートは純粋に数学としておもしろい話題がコラムに度々載っているので高校数学の参考書は青チャートがおすすめである.本書の特徴は, 数学的に興味深い話題がこまめに書かれてあること, 数学用語の英訳が併記されていること, 具体的な数値による計算例を積極的に取り入れていること, 関数の定義が検定教科書や学習参考書と異なること, 附録に重要かつおもしろい話題が多くまとめられていること, である.本文には, ラマヌジャンが発見した有理数と冪根でπを近似する公式もいくつか書かれてあり, これらはe^iπ＝−1並みの美しさはある. 附録には, 自然数の素数判定法, 素数定理, ピタゴラス数, フェルマーの最終定理, 三次方程式の解の公式, 事実上の四次方程式の解の公式, 二次方程式が実解を持つ確率, 殆んど整数に等しい無理数たち, 代表的な無理数が無理数であることの初等的な証明など, 手元に置いておきたいくらい数学的に惹かれる内容が豊富である. 多くの図説は理解の助けになるだろう. 自然対数関数lnを不定積分ln(x)＝∫(1→x)(1/t)dtで定義しつつも指数関数の逆関数であることが明確であり, 三角関数を, π/2未満の実数に対してほぼ三角比と同様に定義し, π/2以上の実数に対しては加法定理の計算結果をもって定義しているのは特徴的である. またオイラーの公式の導出はマクローリン展開による方法だけではなく微分方程式による方法も併記してあるのも他書にはない特徴であり良い点である. なお, 本書の三角関数の定義は, 解析学において関数や作用素の定義域を拡張していく際に現れる考え方に直結しているので重要である.解析学寄りの本であるが, 幾何学(フラクタル図形やπについての考察など)と代数学(初等整数論や代数方程式など)についての話題もある.ちなみにe^iπ＝−1だけではなく, これと同じくらい美しいi^i＝1/√(e^π)も詳細な数値を込めて書かれてある. また, 黄金比(1＋√5)/2と円周率πと自然対数の底eを連分数により結びつけるラマヌジャンの公式も実にすばらしい.高校数学を学んだばかりの人や高校数学を学んでいる人にぜひおすすめしたい. 参考書や附録を参照しながら読むと良いであろう.以下, 自作正誤表.5ページ目自然数をＮ, 整数をＺ, 有理数をＱ, 実数をＲ, 複素数をＣ, と略記する場合が多い → 正: 自然数(全体)の集合をＮ, 整数(全体)の集合をＺ, 有理数(全体)の集合をＱ, 実数(全体)の集合をＲ, 複素数(全体)の集合をＣ, と書く場合が多い42ページ目と358ページ目二次方程式の判別式DはD＝a^2(α−β)ではなくD＝4a^2(α−β).83ページ目これらの関数も → 正: これらの関数値も89ページ目正しい論理式は上下それぞれ∀ε＞0, ∃δ＞0: 0＜|x−a|＜δ⇒|f(x)−b|＜ε；∀ε＞0, ∃δ＞0: |x−a|＜δ⇒|f(x)−f(a)|＜εである.90ページ目すなわち, 定理は → 正: すなわち, 定義は100ページ目平均値の定理より, 区間内の任意の点pにおいて, f'(p)＞0であれば, b−a＞0となるので↓正:b−a＞0となるので, 平均値の定理より, 区間内の任意の点pにおいて, f'(p)＞0であれば,104ページ目x＝C(定数)の場合 → 正: y＝C(定数)の場合123ページ目∫(a→b)f(x)dx＝−∫(b→a)f(x)dxが成り立つ → 正: と定める147ページ目tについての微分(D_t)((x−t)/(1−t))の式において, 本文にx−1とあるのは正しくは1−xであり, 本文の1−xは正しくはx−1である.199ページ目それより大きい角に対しては↓正:それ以上の角に対しては222ページ目(ただし, −π/2≦y≦π/2)↓正:(ただし, −π/2＜y＜π/2)241ページ目右の図x_k＝e^(ikπ/n) → 正: x_k＝e^(i2kπ/n)279ページ目数の計算において, 二乗して正ならば実数,↓正:数の計算において, 二乗して0か正ならば実数,また126-127ページ目にある微分積分の基本定理の証明では被積分関数が単調増加な場合に限られており, しかも図説がないので, 写真で解説を付けておく. より厳密な証明は森北出版「高専の数学3」杉浦光夫「解析入門Ⅰ」北田均「新訂版 数理解析学概論」などを参考にされたい.