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小林 昭七
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円の数学 単行本（ソフトカバー） – 1999/6/20

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近年の教育では実利的な面が強調され、精神の豊かさを養う面が軽視されがちである。 本書では、学問は精神生活を豊かにするものであるという元来の目的に立ち戻り、「円」にかかわる問題を題材に選び、古代ギリシャ数学に始まった研究が近代数学に受け継がれ解決されていった数学の歴史と進歩の様子を、その時代の研究者の人物像も交えて解説する。
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  1. ISBN-10
    4785315164
  2. ISBN-13
    978-4785315160
  3. 出版社
    裳華房
  4. 発売日
    1999/6/20
  5. 言語
    日本語
  6. 寸法
    21 x 14.8 x 2.5 cm
  7. 本の長さ
    134ページ
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商品の説明

内容（「MARC」データベースより）

ギリシャ数学の幾何の中の円が、近代数学にどのように受け継がれたかを、円周率を調べることの数学的意味や、等周問題の解として現れる円のことまで証明を交えながら解説する。

著者について

カリフォルニア大学名誉教授、Ph.D.。1932年 山梨県出身。東京大学理学部卒業。プリンストン高等研究所研究員、マサチューセッツ工科大学研究員、ブリティッシュ・コロンビア大学助教授、カリフォルニア大学バークレー校助教授・副教授・教授などを歴任。2012年逝去。主な著書に『曲線と曲面の微分幾何(改訂版)』『微分積分読本』『続 微分積分読本』(以上 裳華房)、『複素幾何』『顔をなくした数学者』(以上 岩波書店)、『ユークリッド幾何から現代幾何へ』(日本評論社)などがある。

登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ 裳華房 (1999/6/20)
  • 発売日 ‏ : ‎ 1999/6/20
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本（ソフトカバー） ‏ : ‎ 134ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4785315164
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4785315160
  • 寸法 ‏ : ‎ 21 x 14.8 x 2.5 cm
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.7 9

著者について

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小林 昭七

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上位レビュー、対象国： 日本

ksan
5つ星のうち5.0 中学校や高校の数学の先生は読んでおくべき本かな。
2023年11月29日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
一読した。最初の第１章は、ユークリッド原論の公理の話だ。「コンパスを紙から離したら必ず折りたたむ」と書かれており、「あれっ」と思った。コンパスで距離を移していたからだ。命題２で、長さを移せることが証明されるので従来通りでいいということがわかり、ほっとする。知らないことを知らされた。第２章は円周率を求める、歴史的な方法が紹介されている。円周率を求める実験は算数でも学習する。私は、三平方の定理を使って漸化式を作り求めていたが、アルキメデスは相似比を使って漸化式を作っていたのを知り、驚いた。しかも、内接と外接の多角形を同時に求めていた。その後、微積分や三角関数や連分数を使って解く方法が続く。円周率を求める公式は見かけるが、それを導く計算方法は本書で初めて知った。これだけでも収穫だ。第３章で、定規とコンパスで作れる数の紹介で、有理数と平方数は定規とコンパスで作図できる。つまり、有理数や平方数ではない円周の長さを持つ直線は作図できない。説明の中で、有理数の集合に√２を付け加えた拡大体Ｑ（√２）というあたりから読者が離れるのかな。超越数であることの証明は、おそらく読み飛ばされる。第４章の等周問題は、ユークリッドの原論６巻の命題27として幾何学的に証明されているという内容から始まり、等周不等式まで紹介されている。中学や高校の数学の先生は一読しておいた方がいいのでは。
役に立った
 レポート
ただのＯＬ
5つ星のうち3.0 歴史と数学の両方をサクッと読める
2015年6月2日に日本でレビュー済み
　円の話が中心となって、古代ギリシャからの数学の歴史的背景を読物として楽しみながら、数学の勉強もできました。
　第１章で、ユークリッド幾何は『白い紙、直線を引くための定規、円を描くためのコンパス、それに鉛筆』が与えられているだけ。コンパスを使う「ルール」が面白いです。制限を設けるので、「このルールがなければもっと簡単にできるのに」と思うのですが、この方法で作図することが楽しくなればいいなと思います。
　第２章では円周率が歴史上いつから考えられてきて、どのように求められていたのか、から始まります。アルキメデスが与えた円周率の近似を求める方法はとても分かりやすく、数学に苦手意識のある人にも感動を共感してもらえるのではないかと思います。
ただ、証明が詳しく書かれすぎているところと、まったく説明がないところがあるのは残念でした。３章は特に難解で、証明もかなり省略されてしまっているので読み流すか、読み飛ばして進むことをお勧めします。一旦読み終わってから読み直すといいでしょう。
11人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
Enriques_Castelnuovo
5つ星のうち5.0 クロスオーバーの名著
2021年12月30日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
著者は米国・キャルフォルニア大学の
バークレー校で長らく教鞭をとられました。
2012年にお亡くなりになりましたが
微分幾何をご専門とする数学者でした。
その昔、私は大学２年前期で微分幾何を選択
『曲線と曲面の微分幾何』（初版）を読んで
勉強したものです。フルネ＝セレーの公式を
導出しながら「まるで数学の詩のようだ」と
思ったのを今でも覚えています。
著者は微分幾何の大家でありながら、後年、
数学の入門書（微積分の本）や啓蒙書も
上梓されていたことを最近知りました。
本書はその中の１冊です。

数学を勉強している方が読者なら
「もし自分が円周率をテーマとして本を書く
とするならば
どのようにトピックスを取捨選択し
どのようなトーンで書くだろうか？」
…と意識を持って本書を読むとたいへん
参考になるのではないかと思います。
以下このレヴューでは通法通り、
π は円周率を、e は自然対数の底を表す
ことといたします。

本書の白眉は第３章です。なぜなら
読んでいて数学的に面白いからです。
３章のゴールは「π が超越数であること」
つまり π の超越性の証明です。
歴史的にはドイツのリンデマンが証明した
のですが、それは1882年のことでした。
（π が無理数であることは、1770年に
ドイツのランベルトが証明していました）
π が超越数であることの証明は決して
やさしくはないかもしれません。

本書は定石通りまず代数的数を定義します。
同時に「体（たい）」の概念を導入します。
それより前で、３次方程式の解の公式を導き
定規とコンパスで作図できる数を示します。
幾何学者による本ですが、代数的にもきっちり
書かれているのが特長です。
幾何学と代数学がクロスオーバーするのを
見るのは、数学を学ぶ上で有益です。

本書は、リウヴィルの仕事を紹介する形で
超越数が存在することを導き、
かつその濃度が代数的数の濃度よりも大
であることを示します。
カントールの対角線論法もきっちりと
紹介されています。このあたりは
幾何学と代数学と解析学（集合論）の
クロスオーバーと言えることでしょう。

そしてゴールとなる π の超越性ですが
①まず e の超越性を示す。
②同様の方法で、π の超越性を示す。
という２段階で論証されます。論証は
フィールズ賞数学者ベーカーの方法に
ならって行われます。
最後に（π に限定しない）一般的な形での
リンデマンの定理を紹介し、三角関数の
値が（０やπを除いて）超越数になることを
確認して、第３章が終わりとなります。

このように本書は決してやさしいだけの本では
ありませんが、かと言って、難しいだけの本
でもありません。８つの話題については
囲み記事つまりコラムとしてまとめられていて
「ヒルベルトの第７問題」（ある形の数が
代数的数であるかどうかを問う物）などが
その後の経緯とともに紹介されています。
読者フレンドリーな本と言える理由です。

第４章は「等周問題」としての円の考察です。
等周問題を変分法と考えると解析学の範疇ですが
本書では幾何学的視点からアプローチしています。
あと先になりますが、第１章で古代ギリシャの円
つまりユークリッドの時代の円について考察し、
第２章で円周率を定義します。もちろん円周率とは
直径に対する円周の比（直径を１としたときの
円周の長さ）ですが、古代ギリシャ人は
「半径１の円の面積」として円周率をとらえていた
のかもしれないという著者の推測には同感です。
続いて円周率（の近似値）を求めるための、
アルキメデスの方法（取り尽くし法）
arctanx を無限級数展開する方法
arcsinx を無限級数展開する方法
連分数による近似
などが紹介されています（定番です）。

円という幾何学的対象から円周率が生じ
ある時は代数学、ある時は解析学、
ある時は集合論と、クロスオーバーし
現代に至ります。こうして見ますと
円周率は数学のメインストリームであり
クロスオーバーでもある、リッチな対象
であるとつくづく思います。

高校生のとき、隣の席の同級生が
「円周率は何を何で割って求めるのかな」
と言っていたので、驚愕したことがあります。
何かを何かで割って求まるのであればそれは
有理数になってしまうからです。
同級生は根本的な誤解をしていたわけです。
何かを何かで割るのでなければ、どうやって
円周率を計算するのかと言えば
既に何行か上の所で述べました通り
微積分法の力を借りて、逆三角関数などを
無限級数展開することになります。
どのように（組み合わせて）級数展開すれば
収束が速いのか、という話も本書にあります。
それはコンピュータサイエンスに直結します。
私は集合論（実数論）が好きなので
その観点からの考察が本書の次の目標です。

以上、述べてきましたように
本書は微分幾何の大家が書いた
数学全般へのたいへん良い入門書です。
幾何学に興味がある方はもちろん
代数や解析に興味がある方が読んでも
知的にワクワクすることは間違いありません。
ただしやさしいだけの本ではありませんので
自分の予備知識と体力と精神力に合わせ
読める所から読んで行けばよいと思います。
実は円周率に関する本は少なくありません。
ベックマン『 π の歴史』は本書の文献表でも
紹介されていますが、そういう古典的名著と
ともに本書をお勧めいたします。
5人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
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S
5つ星のうち5.0 古代ギリシャから続く物語
2019年9月27日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
裳華房の小林昭七さんの著作が電子書籍化されたので、迷わず購入。大学の教養課程～数学科向けの著作が多い中、一般向けに書かれた内容の本書。円周率πの性質を中心に、古代ギリシャから20世紀までの数学史も交えながら、非常に興味深い解説が成されています。無理数の中でもとりわけ複雑なπに対し、正則(分子が全て1)でない連分数展開を用いると、規則性の有る級数で書けるというのは非常に不思議です。また、締めの言葉も印象的で「数学の証明も最初は大筋をたて、後で細かい点をきちんとつめるのである。もちろん大切なのは大筋である。」
3人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
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アマゾン太郎
5つ星のうち5.0 幾何学の真骨頂
2022年11月7日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
おもしろい
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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